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Integral als Fläche: Ober- und Untersumme

MathematikOberstufekostenlos · ohne Anmeldung

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² zwischen 0 und b wird durch Rechtecke angenähert. Erhöhe die Zahl der Rechtecke und vergleiche mit dem exakten Wert.

Rechtecke

Anzahl Rechtecke n: Obere Grenze b:

Merke: Bei einer steigenden Funktion liegt die Untersumme unter, die Obersumme über dem Flächeninhalt. Je mehr Rechtecke, desto näher rücken beide zusammen – ihr gemeinsamer Grenzwert ist das Integral. Für f(x) = x² gilt ∫₀ᵇ x² dx = b³/3, zum Beispiel 8/3 ≈ 2,667 für b = 2.

Probier es aus

Stelle b = 2 ein. Wie viele Rechtecke brauchst du, damit die Untersumme weniger als 0,1 vom exakten Wert abweicht?
Vergleiche Unter-, Ober- und Mittelsumme bei n = 4. Welche ist am genauesten?
Warum ist die Untersumme hier immer kleiner als der exakte Wert?

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