Terme vereinfachen und binomische Formeln: Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Zusammenfassen

Terme sind Rechenausdrücke mit Zahlen und Variablen, etwa 3x + 2y – x. Sie zu vereinfachen, ist eine Grundfertigkeit der Algebra: Wer Terme sicher umformt, löst Gleichungen schneller, versteht Funktionen besser und macht weniger Fehler. In Klasse 8 kommen die binomischen Formeln hinzu – ein mächtiges Werkzeug.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Nur Terme mit genau denselben Variablen und Exponenten lassen sich zusammenfassen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5x² bleibt stehen. Beispiel: 4a + 3b – a + 2b = 3a + 5b. Man kann sich das vorstellen wie Äpfel und Birnen: 4 Äpfel minus 1 Apfel sind 3 Äpfel, die Birnen zählt man separat.

Klammern auflösen

Steht ein Plus vor der Klammer, kann sie einfach weggelassen werden: 5 + (x – 3) = 5 + x – 3. Steht ein Minus davor, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um: 5 – (x – 3) = 5 – x + 3. Dieser zweite Fall ist eine der häufigsten Fehlerquellen.

Ausmultiplizieren

Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert (Distributivgesetz): 3(x + 4) = 3x + 12. Bei zwei Klammern multipliziert jedes Glied der ersten mit jedem der zweiten: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.

Die drei binomischen Formeln

• 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
• 3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² – b²

Beispiele: (x + 3)² = x² + 6x + 9. (2y – 5)² = 4y² – 20y + 25. (x + 4)(x – 4) = x² – 16.

Der vergessene Mittelterm

Der häufigste Fehler überhaupt: (a + b)² = a² + b². Der Mittelterm 2ab fehlt. Eine Zahlenprobe zeigt den Fehler sofort: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13. Anschaulich wird die Formel an einem Quadrat mit der Seitenlänge a + b: Es besteht aus einem Quadrat a², einem Quadrat b² und zwei Rechtecken ab.

Faktorisieren – der Weg zurück

Beim Faktorisieren wird ein Term als Produkt geschrieben. Zwei Methoden:

• Ausklammern: 6x + 9 = 3(2x + 3). Man sucht den gemeinsamen Faktor aller Glieder.
• Binomische Formeln rückwärts: x² – 10x + 25 = (x – 5)². x² – 49 = (x + 7)(x – 7).

Faktorisieren ist später wichtig, um quadratische Gleichungen zu lösen und Bruchterme zu kürzen.

Kopfrechentricks mit binomischen Formeln

51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601. 49 · 51 = (50 – 1)(50 + 1) = 2500 – 1 = 2499. Solche Tricks machen die Formeln greifbar und zeigen, wozu sie gut sind.

Häufige Fehler

• Mittelterm bei binomischen Formeln vergessen.
• Minus vor der Klammer: nur das erste Vorzeichen umgedreht.
• Ungleichartige Terme zusammengefasst: 3x + 2 = 5x.
• Beim Ausmultiplizieren ein Glied vergessen.

Zahlenprobe als Kontrolle

Nach jeder Umformung kann man eine beliebige Zahl einsetzen, etwa x = 2, in den Ausgangsterm und in das Ergebnis. Stimmen die Werte überein, war die Umformung sehr wahrscheinlich richtig. Diese Probe dauert Sekunden und ist besonders vor Klassenarbeiten ein wertvolles Werkzeug.

Teste dich selbst

1. Vereinfache: 5a – 2b + 3a + 4b. – Lösung: 8a + 2b.
2. Löse auf: 7 – (2x – 4). – Lösung: 11 – 2x.
3. (x + 5)² = ? – Lösung: x² + 10x + 25.
4. (3y – 2)² = ? – Lösung: 9y² – 12y + 4.
5. Faktorisiere: x² – 36. – Lösung: (x + 6)(x – 6).

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