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Potenzgesetze einfach erklärt: alle Regeln mit Beispielen

2 · 2 · 2 · 2 · 2 lässt sich kürzer schreiben: 2⁵. Die 2 heißt Basis, die 5 Exponent. Potenzen begegnen dir von Flächeninhalten über Zinseszins bis zu sehr großen und sehr kleinen Zahlen in Physik und Chemie. Mit wenigen Gesetzen rechnest du sicher damit.

Die Potenzgesetze in der Übersicht

Regel	Allgemein	Beispiel
Gleiche Basis malnehmen	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Gleiche Basis teilen	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	x⁵ : x² = x³
Potenz potenzieren	(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ	(3²)³ = 3⁶ = 729
Gleicher Exponent, malnehmen	aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ	2³ · 5³ = 10³ = 1.000
Gleicher Exponent, teilen	aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ	6² : 3² = 2² = 4
Exponent 0	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	5⁰ = 1
Negativer Exponent	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ	2⁻³ = 1/8
Gebrochener Exponent	a^(1/n) = ⁿ√a	16^(1/2) = √16 = 4

Warum die Regeln gelten

Du musst die Regeln nicht blind auswendig lernen. Schreib sie einmal aus: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2). Das sind sieben Zweien, also 2⁷. Deshalb werden die Exponenten addiert.

Auch a⁰ = 1 ergibt sich daraus: 5³ : 5³ ist 1, und nach der Regel gilt 5³ : 5³ = 5⁰.

Negative Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet „Kehrwert“, das Ergebnis ist also nicht automatisch negativ: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Das brauchst du auch für Zehnerpotenzen: 10⁻² = 0,01.

Gebrochene Exponenten und Wurzeln

Wurzeln sind Potenzen mit einem Bruch als Exponent: √x = x^(1/2) und ³√x = x^(1/3). Bei 8^(2/3) ziehst du zuerst die dritte Wurzel und quadrierst dann: ³√8 = 2 und 2² = 4. So wird auch das Ableiten von Wurzeln einfach.

Potenz, Wurzel und Logarithmus

Alle drei beschreiben denselben Zusammenhang, nur mit einer anderen gesuchten Größe:

Gesucht	Rechnung	Frage
das Ergebnis	2³ = 8	Wie viel ist 2 hoch 3?
die Basis	³√8 = 2	Welche Zahl hoch 3 ergibt 8?
der Exponent	log₂(8) = 3	2 hoch wie viel ergibt 8?

Sehr große und sehr kleine Zahlen

In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Zahl zwischen 1 und 10 mal einer Zehnerpotenz: 320.000 = 3,2 · 10⁵ und 0,0004 = 4 · 10⁻⁴.

Typische Fehler

Verschiedene Basen zusammenziehen: 2³ · 3² lässt sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen, sondern nur ausrechnen: 8 · 9 = 72.
Exponenten beim Malnehmen malnehmen: 2³ · 2⁴ ist 2⁷, nicht 2¹².
Summen gliedweise potenzieren: (a + b)² ist nicht a² + b². Hier gelten die binomischen Formeln.
Klammern übersehen: −2² = −4, aber (−2)² = 4.

Potenzgesetze üben: Aufgaben mit Lösungen

3² · 3³ – Lösung: 3⁵ = 243
a⁷ : a³ – Lösung: a⁴
(x²)⁴ – Lösung: x⁸
4⁻² – Lösung: 1/16
7⁰ – Lösung: 1
27^(1/3) – Lösung: 3
8^(2/3) – Lösung: 4
Schreibe 45.000 in wissenschaftlicher Schreibweise. – Lösung: 4,5 · 10⁴

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Häufige Fragen (FAQ)

Wann darf ich Exponenten addieren?

Wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis malgenommen werden: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Bei unterschiedlichen Basen geht das nicht.

Warum ist etwas hoch 0 gleich 1?

Weil aⁿ : aⁿ einerseits 1 ergibt und andererseits nach dem Divisionsgesetz a⁰. Das gilt für jede Basis außer 0.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Er steht für den Kehrwert: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Das Ergebnis ist deshalb nicht automatisch negativ.

Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen?

Die n-te Wurzel ist eine Potenz mit dem Exponenten 1/n, also ⁿ√a = a^(1/n).

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.

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