Die Ableitung einer Funktion sagt dir, wie steil ihr Graph an einer Stelle ist. Sie ist die Grundlage für Extrempunkte, Wendepunkte und die ganze Kurvendiskussion. Das Gute: Du musst dafür nicht jedes Mal einen Grenzwert berechnen. Mit einer Handvoll Regeln kannst du fast jede Schulfunktion ableiten.
f'(x) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x an. Ist f'(x) positiv, steigt der Graph dort, ist f'(x) negativ, fällt er. Ist f'(x) = 0, verläuft die Tangente waagerecht – dort kann ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen. Ein Beispiel: Für f(x) = x² gilt f'(x) = 2x. An der Stelle x = 3 hat der Graph also die Steigung 6.
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Konstante | f(x) = c | f'(x) = 0 |
| Potenzregel | f(x) = xⁿ | f'(x) = n · xⁿ⁻¹ |
| Faktorregel | f(x) = c · g(x) | f'(x) = c · g'(x) |
| Summenregel | f(x) = g(x) + h(x) | f'(x) = g'(x) + h'(x) |
| Produktregel | f(x) = u(x) · v(x) | f'(x) = u' · v + u · v' |
| Quotientenregel | f(x) = u(x) / v(x) | f'(x) = (u' · v − u · v') / v² |
| Kettenregel | f(x) = g(h(x)) | f'(x) = g'(h(x)) · h'(x) |
| e-Funktion | f(x) = eˣ | f'(x) = eˣ |
| Logarithmus | f(x) = ln(x) | f'(x) = 1/x |
| Sinus | f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
| Kosinus | f(x) = cos(x) | f'(x) = −sin(x) |
| Wurzel | f(x) = √x | f'(x) = 1 / (2√x) |
| Kehrwert | f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² |
Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und wird um 1 kleiner. Mit Faktor- und Summenregel leitest du so jedes Polynom gliedweise ab:
f(x) = 4x³ − 5x² + 2x − 7 ergibt f'(x) = 12x² − 10x + 2. Die Konstante −7 fällt weg, weil sie die Steigung nicht beeinflusst.
Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten. Schreibe Wurzeln und Brüche deshalb zuerst als Potenz um: √x = x^(1/2) und 1/x² = x⁻². Mehr dazu in den Potenzgesetzen.
Für f(x) = x² · sin(x) setzt du u = x² und v = sin(x). Dann ist u' = 2x und v' = cos(x), also:
f'(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x).
Merke: Das Produkt zweier Funktionen wird nicht abgeleitet, indem man beide Ableitungen malnimmt. Das ist der häufigste Fehler überhaupt.
Die Kettenregel brauchst du, wenn eine Funktion in einer anderen steckt. Leite die äußere Funktion ab, lass das Innere stehen und multipliziere mit der inneren Ableitung („Nachdifferenzieren“):
f(x) = (x² + 1)³ hat die äußere Funktion „hoch 3“ und die innere Funktion x² + 1. Also f'(x) = 3 · (x² + 1)² · 2x = 6x · (x² + 1)².
Genauso: f(x) = e^(2x) ergibt f'(x) = 2 · e^(2x), und f(x) = sin(3x) ergibt f'(x) = 3 · cos(3x).
Für f(x) = x² / (x + 1) ist u = x², v = x + 1, u' = 2x und v' = 1. Damit gilt f'(x) = (2x · (x + 1) − x²) / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)². Steht im Nenner nur eine Potenz von x, geht es einfacher: Schreibe 3/x² als 3x⁻² und nutze die Potenzregel.
Wofür du die Ableitung brauchst, zeigt die Kurvendiskussion Schritt für Schritt.
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