pq-Formel und Mitternachtsformel: Anleitung mit Beispielen

Sobald in einer Gleichung ein x² vorkommt, helfen die üblichen Umformungen allein nicht mehr. Für solche quadratischen Gleichungen gibt es zwei Lösungsformeln: die pq-Formel und die Mitternachtsformel. Beide liefern dasselbe Ergebnis. Welche du nimmst, hängt davon ab, wie die Gleichung aussieht und was an deiner Schule üblich ist.

Die beiden Formeln im Vergleich

In Österreich heißen sie „kleine“ und „große Lösungsformel“.

pq-Formel: Schritt für Schritt

1. Gleichung auf die Form x² + px + q = 0 bringen. Steht vor x² eine Zahl, teilst du die ganze Gleichung dadurch.
2. p und q ablesen, und zwar mit Vorzeichen.
3. In die Formel einsetzen und ausrechnen.

Beispiel: x² − 6x + 8 = 0. Hier ist p = −6 und q = 8.

x = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, also x₁ = 4 und x₂ = 2.

Probe: 4² − 6 · 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0. Stimmt.

Mitternachtsformel: Schritt für Schritt

Beispiel: 2x² − 8x + 6 = 0. Hier ist a = 2, b = −8 und c = 6.

x = (8 ± √(64 − 48)) / 4 = (8 ± 4) / 4, also x₁ = 3 und x₂ = 1.

Mit der pq-Formel geht es genauso: Teile durch 2, das ergibt x² − 4x + 3 = 0, und du erhältst dieselben Lösungen.

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen gibt es?

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. An ihm siehst du sofort, wie viele Lösungen es gibt:

Am Graphen bedeutet das: Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal, berührt sie einmal oder trifft sie gar nicht.

Wann du keine Formel brauchst

• Kein Glied ohne x: Bei x² − 5x = 0 klammerst du x aus: x · (x − 5) = 0, also x = 0 oder x = 5.
• Kein x-Glied: Bei x² − 16 = 0 gilt x² = 16, also x = 4 oder x = −4.

Scheitelpunktform und quadratische Ergänzung

Die Scheitelpunktform y = a(x − d)² + e zeigt den Scheitel S(d | e) direkt. Mit der quadratischen Ergänzung kommst du dorthin:

y = x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Der Scheitel liegt also bei S(3 | −4).

Mehr zu Parabeln und Nullstellen findest du im Artikel zu quadratischen Funktionen.

Typische Fehler

• Die Formel anwenden, ohne vorher auf „= 0“ umzustellen.
• Das Vorzeichen falsch übernehmen: Bei x² − 6x ist p = −6, und −p/2 ergibt +3.
• Bei der pq-Formel vergessen, durch den Faktor vor x² zu teilen.
• Nur eine Lösung angeben, obwohl das ± zwei Lösungen ergibt.

Quadratische Gleichungen üben: Aufgaben mit Lösungen

1. x² + 2x − 8 = 0 – Lösung: x = −1 ± 3, also x₁ = 2 und x₂ = −4
2. x² − 5x + 6 = 0 – Lösung: x = 2,5 ± 0,5, also x₁ = 3 und x₂ = 2
3. 3x² + 6x − 9 = 0 – Lösung: Durch 3 teilen: x² + 2x − 3 = 0, also x₁ = 1 und x₂ = −3
4. x² + 4x + 4 = 0 – Lösung: x = −2 (genau eine Lösung)
5. x² + x + 1 = 0 – Lösung: Unter der Wurzel steht 0,25 − 1 = −0,75, also keine reelle Lösung

Übungsblätter zu diesem Thema

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• Mathe-Übungsblätter für Klasse 9: Parabeln, Pythagoras, Strahlensätze
• Mathe-Übungsblätter für Klasse 10: Trigonometrie, Wachstum, Funktionen

Häufige Fragen (FAQ)

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.