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Gleichungen lösen mit Äquivalenzumformungen: Anleitung mit Beispielen

Gleichungen sind das Herzstück der Algebra. Sobald eine Unbekannte x im Spiel ist, stellt sich die Frage: Welcher Wert macht die Gleichung wahr? In Klasse 7 und 8 lernen Schüler*innen, lineare Gleichungen systematisch zu lösen – mit Äquivalenzumformungen.

Das Waagenmodell

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Links und rechts steht derselbe Wert. Solange man auf beiden Seiten dasselbe tut, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Genau das sind Äquivalenzumformungen: Man addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert auf beiden Seiten mit derselben Zahl (außer Null beim Multiplizieren und Dividieren).

Das Ziel: x allein

Am Ende soll die Gleichung die Form „x = Zahl“ haben. Dazu werden alle x-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite gebracht.

Beispiel 1: Einfache Gleichung

3x + 5 = 20

– 5 auf beiden Seiten: 3x = 15
: 3 auf beiden Seiten: x = 5
Probe: 3 · 5 + 5 = 20. Stimmt.

Beispiel 2: x auf beiden Seiten

5x – 3 = 2x + 9

– 2x: 3x – 3 = 9
+ 3: 3x = 12
: 3: x = 4
Probe: 5 · 4 – 3 = 17 und 2 · 4 + 9 = 17. Stimmt.

Beispiel 3: Mit Klammern

3(x – 2) + 5 = 2x + 9

Klammer auflösen: 3x – 6 + 5 = 2x + 9, also 3x – 1 = 2x + 9
– 2x: x – 1 = 9
+ 1: x = 10
Probe: 3 · 8 + 5 = 29 und 2 · 10 + 9 = 29. Stimmt.

Beispiel 4: Mit Brüchen

x/4 + 2 = 5. Tipp: Brüche loswerden, indem man mit dem Nenner multipliziert.

– 2: x/4 = 3
· 4: x = 12

Bei mehreren Brüchen multipliziert man mit dem Hauptnenner: x/2 + x/3 = 10 wird mit 6 multipliziert zu 3x + 2x = 60, also 5x = 60 und x = 12.

Umformungen notieren

Es hat sich bewährt, jede Umformung rechts neben die Gleichung zu schreiben, etwa „| – 5“ oder „| : 3“. Das macht den Lösungsweg nachvollziehbar – für einen selbst und für die Lehrkraft.

Sonderfälle

Keine Lösung: 2x + 3 = 2x + 5 führt zu 3 = 5 – ein Widerspruch. Die Lösungsmenge ist leer.
Unendlich viele Lösungen: 2(x + 1) = 2x + 2 führt zu 2 = 2 – immer wahr. Jede Zahl ist Lösung.

Die häufigsten Fehler

Nur eine Seite umgeformt: Die Waage kippt.
Vorzeichenfehler beim Klammerauflösen: –2(x – 3) = –2x + 6, nicht –2x – 6.
Falsch dividiert: Bei 3x + 6 = 12 durch 3 teilen, aber nur den ersten Term: x + 6 = 4.
Keine Probe: Die Probe kostet eine Minute und findet fast jeden Fehler.

Gleichungen aus Textaufgaben

„Denke dir eine Zahl, verdreifache sie und addiere 7. Du erhältst 34.“ Aus dem Text wird 3x + 7 = 34, also x = 9. Das Aufstellen der Gleichung ist oft schwieriger als das Lösen – hier hilft es, den Text Satz für Satz in Mathematik zu übersetzen.

Teste dich selbst

4x – 7 = 13 – Lösung: x = 5.
6x + 2 = 2x + 18 – Lösung: 4x = 16, x = 4.
2(x + 5) = 3x + 4 – Lösung: 2x + 10 = 3x + 4, x = 6.
x/3 – 1 = 4 – Lösung: x/3 = 5, x = 15.
3x + 1 = 3x + 4 – Lösung: keine Lösung (Widerspruch 1 = 4).

Übungsblätter zu diesem Thema

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Häufige Fragen (FAQ)

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Eine Umformung, bei der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchgeführt wird. Die Lösungsmenge bleibt dabei gleich.

Darf ich mit null multiplizieren?

Nein. Dann wird aus jeder Gleichung 0 = 0, und die Information geht verloren. Auch durch null darf nicht dividiert werden.

Warum sollte ich immer eine Probe machen?

Weil sie zeigt, ob das Ergebnis die Gleichung wirklich erfüllt. Sie deckt Rechen- und Vorzeichenfehler zuverlässig auf.

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.