Lineare Gleichungssysteme lösen: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei (oder mehr) Gleichungen mit zwei (oder mehr) Unbekannten. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. In Klasse 8 und 9 lernen Schüler*innen drei rechnerische Verfahren und die grafische Lösung. Alle führen zum selben Ergebnis – aber je nach Aufgabe ist ein Verfahren deutlich schneller.

Ein Beispiel aus dem Alltag

Im Kino kosten 2 Erwachsenen- und 3 Kinderkarten zusammen 39 €, 1 Erwachsenen- und 2 Kinderkarten 23 €. Wie viel kostet jede Karte? Mit x für Erwachsene und y für Kinder: 2x + 3y = 39 und x + 2y = 23.

Das Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung wird nach einer Variable aufgelöst und in die andere eingesetzt.

• Aus x + 2y = 23 folgt x = 23 – 2y.
• Einsetzen: 2(23 – 2y) + 3y = 39, also 46 – 4y + 3y = 39, also y = 7.
• x = 23 – 14 = 9.
• Lösung: Erwachsene 9 €, Kinder 7 €.

Am besten geeignet, wenn eine Variable schon allein steht oder den Faktor 1 hat.

Das Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen werden nach derselben Variable aufgelöst und gleichgesetzt. Beispiel: y = 2x – 5 und y = –x + 4. Gleichsetzen: 2x – 5 = –x + 4, also 3x = 9 und x = 3. Dann y = 2 · 3 – 5 = 1.

Am besten geeignet, wenn beide Gleichungen schon nach y (oder x) aufgelöst sind – typisch bei Funktionsgleichungen.

Das Additionsverfahren

Die Gleichungen werden so multipliziert, dass beim Addieren eine Variable wegfällt. Beispiel: 3x + 2y = 16 und 2x – 2y = 4. Addieren: 5x = 20, x = 4. Einsetzen: 3 · 4 + 2y = 16, y = 2.

Am besten geeignet, wenn eine Variable in beiden Gleichungen dieselben oder entgegengesetzte Koeffizienten hat oder sich leicht angleichen lässt.

Die grafische Lösung

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Grafisch lässt sich die Lösung gut veranschaulichen, bei krummen Werten ist sie aber ungenau.

Drei mögliche Fälle

• Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
• Keine Lösung: Die Geraden sind parallel. Rechnerisch entsteht ein Widerspruch wie 0 = 5.
• Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch. Rechnerisch entsteht eine wahre Aussage wie 0 = 0.

Welches Verfahren wählen?

Ein kurzer Blick auf die Gleichungen genügt: Steht eine Variable allein? Einsetzen. Sind beide nach y aufgelöst? Gleichsetzen. Passen die Koeffizienten zusammen? Addieren. Wer das richtige Verfahren wählt, spart Zeit und Fehler.

Probe nicht vergessen

Die Lösung muss in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt werden: 2 · 9 + 3 · 7 = 39 und 9 + 2 · 7 = 23. Beide stimmen – die Lösung ist richtig. Wer nur eine Gleichung prüft, übersieht Fehler.

Typische Fehler

• Beim Additionsverfahren nur einen Teil der Gleichung multiplizieren.
• Nach dem Einsetzen die zweite Variable nicht berechnen.
• Vorzeichenfehler beim Auflösen von Klammern.

Teste dich selbst

1. x + y = 12, x – y = 4 – Lösung: Addition: 2x = 16, x = 8, y = 4.
2. y = 3x – 2, y = x + 6 – Lösung: Gleichsetzen: x = 4, y = 10.
3. x = 2y, 3x + y = 21 – Lösung: Einsetzen: 7y = 21, y = 3, x = 6.
4. y = 2x + 1, y = 2x + 5 – Lösung: keine Lösung (parallele Geraden).

Übungsblätter zu diesem Thema

Mit LocalAce erstellst du dir Übungsblätter genau zu diesem Thema – passend zu deiner Klassenstufe, mit Lösung zum Selbstkontrollieren. Hast du deine Lösung fertig, prüft der Corvi Hausaufgaben-Check sie per Foto.

• Mathe-Übungsblätter für Klasse 8: Lineare Funktionen, Gleichungssysteme
• Mathe-Übungsblätter für Klasse 5–10: von Brüchen bis zu Funktionen

Häufige Fragen (FAQ)

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.