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Brüche kürzen und erweitern: So geht's – mit Teilbarkeitsregeln und Beispielen

Kürzen und Erweitern sind die Grundwerkzeuge der Bruchrechnung. Ohne sie lassen sich Brüche weder vergleichen noch addieren, und Ergebnisse bleiben unnötig kompliziert. Beide Verfahren beruhen auf derselben Idee: Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert.

Erweitern

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert: 2/3 erweitert mit 4 ergibt 8/12. Anschaulich: Eine Pizza in 3 Stücke geteilt, davon 2 genommen – oder in 12 Stücke geteilt, davon 8 genommen. Es ist dieselbe Menge Pizza, nur in kleineren Stücken.

Kürzen

Kürzen ist die Umkehrung: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert. 12/18 gekürzt mit 6 ergibt 2/3. Kürzen geht nur, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

Vollständig kürzen mit dem ggT

Am schnellsten kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT). Bei 24/36: Die Teiler von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; die Teiler von 36 sind 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Der größte gemeinsame ist 12. Also: 24/36 = 2/3. Wer den ggT nicht sofort sieht, kann auch schrittweise kürzen: 24/36 → 12/18 → 6/9 → 2/3.

Teilbarkeitsregeln helfen

Durch 2: Die letzte Ziffer ist gerade.
Durch 3: Die Quersumme ist durch 3 teilbar (123: 1 + 2 + 3 = 6).
Durch 4: Die letzten beiden Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl.
Durch 5: Die letzte Ziffer ist 0 oder 5.
Durch 9: Die Quersumme ist durch 9 teilbar.
Durch 10: Die letzte Ziffer ist 0.

Wozu man das braucht

Brüche vergleichen: Ist 3/4 oder 5/7 größer? Erweitern auf den Nenner 28: 21/28 und 20/28 – also ist 3/4 größer. Brüche addieren: Erst auf den Hauptnenner erweitern. Ergebnisse vereinfachen: 18/24 ist richtig, 3/4 ist besser.

Typische Fehler

Nur Zähler oder Nenner verändern: 2/3 → 8/3 ist kein Erweitern.
Aus Summen kürzen: (3 + 6)/6 darf nicht zu 3 + 1 gekürzt werden. Kürzen geht nur bei Faktoren.
Nicht vollständig gekürzt: 12/18 → 6/9 ist richtig, aber nicht fertig.

Übungstipp

Eine gute Übung ist das „Bruch-Memory“: Karten mit gleichwertigen Brüchen (1/2, 2/4, 3/6, 50/100) werden als Paare gesucht. Auch Aufgaben, bei denen ein fehlender Zähler oder Nenner ergänzt wird (3/5 = ?/20), festigen das Verständnis.

Die Brücke zu Dezimalzahlen und Prozenten

Wer sicher erweitert, kann Brüche leicht in Dezimalzahlen umwandeln: 3/4 = 75/100 = 0,75 = 75 %. Das Erweitern auf den Nenner 100 ist deshalb in Klasse 7 bei der Prozentrechnung wieder gefragt.

Teste dich selbst

Kürze vollständig: 18/27. – Lösung: 2/3 (ggT 9).
Erweitere 3/7 auf den Nenner 35. – Lösung: 15/35.
Ergänze: 4/5 = ?/40. – Lösung: 32.
Was ist größer: 5/8 oder 3/5? – Lösung: 25/40 > 24/40, also 5/8.
Ist 111 durch 3 teilbar? – Lösung: Ja, Quersumme 3.

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Häufige Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern?

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, beim Kürzen durch dieselbe Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt?

Wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.

Warum darf man nicht aus Summen kürzen?

Weil Kürzen eine Division von Zähler und Nenner bedeutet. Bei einer Summe müsste man jeden Summanden teilen, nicht nur einen.

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.