kgV und ggT berechnen: Primfaktorzerlegung mit Beispielen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und der größte gemeinsame Teiler (ggT) begegnen dir vor allem in der Bruchrechnung: Der ggT hilft beim Kürzen, das kgV beim Finden des Hauptnenners. Beides lässt sich mit einem einfachen Verfahren sicher berechnen.

Was bedeuten kgV und ggT?

• Der ggT ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. ggT(12, 18) = 6.
• Das kgV ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. kgV(12, 18) = 36.

Methode 1: Listen aufschreiben

Bei kleinen Zahlen reicht das völlig aus:

• Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Der größte gemeinsame ist 6.
• Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48. Vielfache von 18: 18, 36, 54. Das kleinste gemeinsame ist 36.

Methode 2: Primfaktorzerlegung

Bei größeren Zahlen zerlegst du beide Zahlen in Primfaktoren. Am Beispiel 84 und 90:

• 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7
• 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5

ggT: Nimm nur die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleineren Exponenten: 2 · 3 = 6.

kgV: Nimm alle vorkommenden Primfaktoren, jeweils mit dem größeren Exponenten: 2² · 3² · 5 · 7 = 1.260.

Probe: ggT · kgV ergibt immer das Produkt der beiden Zahlen: 6 · 1.260 = 7.560 = 84 · 90.

Methode 3: Euklidischer Algorithmus

Für den ggT sehr großer Zahlen teilst du die größere Zahl durch die kleinere und rechnest mit dem Rest weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Teiler ist der ggT: 90 : 84 = 1 Rest 6, dann 84 : 6 = 14 Rest 0. Also ist ggT(84, 90) = 6.

Die Primzahlen bis 100

Primzahlen haben genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Die 1 ist deshalb keine Primzahl, die 2 ist die einzige gerade.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Teilbarkeitsregeln

Wofür du das in der Bruchrechnung brauchst

Kürzen mit dem ggT: 84/90 lässt sich durch 6 kürzen und ergibt 14/15.

Hauptnenner mit dem kgV: Bei 1/12 + 1/18 ist kgV(12, 18) = 36 der Hauptnenner: 3/36 + 2/36 = 5/36. Mehr dazu unter Brüche kürzen und erweitern.

kgV und ggT üben: Aufgaben mit Lösungen

1. ggT(24, 36) – Lösung: 12
2. kgV(4, 6) – Lösung: 12
3. kgV(8, 12) – Lösung: 24
4. ggT(45, 60) – Lösung: 15
5. Zerlege 72 in Primfaktoren. – Lösung: 2³ · 3²
6. Ist 91 eine Primzahl? – Lösung: Nein, 91 = 7 · 13
7. Berechne 1/6 + 1/8 über das kgV. – Lösung: kgV = 24: 4/24 + 3/24 = 7/24

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