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Logarithmus einfach erklärt: Regeln, Beispiele und Aufgaben

Der Logarithmus beantwortet eine einfache Frage: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten? 2 hoch wie viel ergibt 8? Die Antwort ist 3, also ist log₂(8) = 3. Du brauchst ihn immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht.

Die Definition

log_b(a) = x bedeutet dasselbe wie bˣ = a. Dabei ist b die Basis (positiv und ungleich 1) und a eine positive Zahl.

Logarithmus	Frage	Ergebnis
log₂(32)	2 hoch wie viel ist 32?	5
log₁₀(1000)	10 hoch wie viel ist 1000?	3
log₃(1/9)	3 hoch wie viel ist 1/9?	−2
log₅(1)	5 hoch wie viel ist 1?	0
log₇(7)	7 hoch wie viel ist 7?	1

Besondere Logarithmen

lg oder log: Basis 10, der Zehnerlogarithmus.
ln: Basis e ≈ 2,718, der natürliche Logarithmus. Er ist die Umkehrung der e-Funktion: ln(eˣ) = x.
ld oder log₂: Basis 2, wichtig in der Informatik.

Achtung: Je nach Taschenrechner und Buch steht „log“ für die Basis 10 oder für eine andere Basis.

Die Logarithmengesetze

Regel	Formel	Beispiel
Produkt	log(u · v) = log(u) + log(v)	lg(50) + lg(2) = lg(100) = 2
Quotient	log(u / v) = log(u) − log(v)	log₂(24) − log₂(3) = log₂(8) = 3
Potenz	log(uʳ) = r · log(u)	lg(1000) = lg(10³) = 3
Wurzel	log(ⁿ√u) = (1/n) · log(u)	log₂(√8) = 1/2 · 3 = 1,5
Basiswechsel	log_b(a) = ln(a) / ln(b)	log₃(20) = ln(20) / ln(3) ≈ 2,73

Sie folgen direkt aus den Potenzgesetzen: Aus Malnehmen von Potenzen wird das Addieren der Exponenten.

Exponentialgleichungen lösen

Steht x im Exponenten, wendest du auf beide Seiten den Logarithmus an und nutzt die Potenzregel:

Beispiel 1: 2ˣ = 32. Du erkennst 32 = 2⁵, also x = 5.

Beispiel 2: 3ˣ = 20. Logarithmieren ergibt x · ln(3) = ln(20), also x = ln(20) / ln(3) ≈ 2,73.

Beispiel 3, aus dem Alltag: Ein Guthaben wächst jährlich um 5 %. Wann hat es sich verdoppelt? 1,05ˣ = 2 ergibt x = ln(2) / ln(1,05) ≈ 14,2 Jahre. Mehr dazu unter exponentielles Wachstum.

Typische Fehler

Summen auseinanderziehen: log(u + v) ist nicht log(u) + log(v). Das gilt nur für das Produkt.
Logarithmus von null oder negativen Zahlen: Er ist nicht definiert, weil eine positive Basis hoch x immer positiv ist.
Falsche Basis im Taschenrechner: Ergebnis mit dem Basiswechsel kontrollieren.
Das Kürzen von „log“: ln(20) / ln(3) ist nicht 20/3.

Logarithmus üben: Aufgaben mit Lösungen

log₂(64) – Lösung: 6
lg(0,01) – Lösung: −2
log₃(81) – Lösung: 4
ln(e³) – Lösung: 3
lg(4) + lg(25) – Lösung: lg(100) = 2
Löse 5ˣ = 125. – Lösung: x = 3
Löse 2ˣ = 10. – Lösung: x = ln(10) / ln(2) ≈ 3,32
Fasse zusammen: 2 · lg(3) + lg(2) – Lösung: lg(9) + lg(2) = lg(18)

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Häufige Fragen (FAQ)

Was ist ein Logarithmus einfach erklärt?

Der Exponent, mit dem man die Basis potenzieren muss, um eine Zahl zu erhalten. log₂(8) = 3, weil 2³ = 8 ist.

Was ist der Unterschied zwischen ln und lg?

ln hat die Basis e ≈ 2,718, lg die Basis 10.

Wofür braucht man den Logarithmus?

Um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht, etwa bei Wachstum, Zerfall und Zinseszins.

Warum gibt es den Logarithmus von 0 nicht?

Weil keine Potenz einer positiven Basis 0 ergibt. Dasselbe gilt für negative Zahlen.

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.

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