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Nullstellen berechnen: alle Verfahren mit Beispielen

Nullstellen sind die Stellen, an denen ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet oder berührt. Dort ist der Funktionswert genau 0. Das Grundrezept ist immer gleich: Setze f(x) = 0 und löse die Gleichung. Welches Verfahren du dafür nimmst, hängt vom Term ab.

Welches Verfahren passt?

Funktion	Beispiel	Verfahren
Linear	2x − 6	nach x auflösen
Quadratisch ohne Zahl	x² + 4x	x ausklammern
Quadratisch ohne x-Glied	x² − 9	Wurzel ziehen
Quadratisch allgemein	x² − 5x + 6	pq- oder Mitternachtsformel
Ohne Konstante, höherer Grad	x³ − 4x	x ausklammern
Biquadratisch	x⁴ − 5x² + 4	Substitution z = x²
Grad 3 oder höher	x³ − 6x² + 11x − 6	Nullstelle raten, Polynomdivision
Produkt	(x − 1) · (x + 5)	Satz vom Nullprodukt
Mit e-Funktion	(x − 2) · eˣ	eˣ ist nie 0, also nur x − 2 = 0

Lineare Funktionen

f(x) = 2x − 6. Aus 2x − 6 = 0 folgt 2x = 6, also x = 3.

Quadratische Funktionen

Bei x² − 5x + 6 = 0 hilft die pq-Formel: x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5, also x₁ = 3 und x₂ = 2.

Der Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Deshalb sind faktorisierte Terme am einfachsten: (x − 1) · (x + 5) = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = −5.

Ausklammern

f(x) = x³ − 4x = x · (x² − 4). Der erste Faktor liefert x = 0, der zweite x = 2 und x = −2.

Substitution bei biquadratischen Funktionen

f(x) = x⁴ − 5x² + 4. Setze z = x²:

z² − 5z + 4 = 0 ergibt z = 4 und z = 1.
Rücksubstitution: x² = 4 ergibt x = ±2, x² = 1 ergibt x = ±1.

Polynomdivision

f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Hier gibt es keine einfache Formel, also rätst du eine Nullstelle unter den Teilern des absoluten Glieds, hier ±1, ±2, ±3, ±6. Da f(1) = 0 ist, teilst du durch (x − 1):

(x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6. Das ergibt die weiteren Nullstellen x = 2 und x = 3.

e-Funktion und Sinus

eˣ wird nie 0. Bei (x − 2) · eˣ ist deshalb nur x = 2 eine Nullstelle.
eˣ − 1 = 0 ergibt eˣ = 1, also x = 0.
sin(x) = 0 gilt bei x = 0, ±π, ±2π und so weiter.

Was die Vielfachheit bedeutet

Bei einer doppelten Nullstelle wie in (x − 3)² berührt der Graph die x-Achse nur, ohne das Vorzeichen zu wechseln. Bei einfachen Nullstellen schneidet er sie. Das brauchst du auch in der Kurvendiskussion.

Typische Fehler

Durch x teilen statt auszuklammern: Dabei geht die Nullstelle x = 0 verloren.
Bei x² = 9 nur x = 3 angeben: Auch x = −3 ist eine Lösung.
Rücksubstitution vergessen.
Nullstelle und y-Achsenabschnitt verwechseln: Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhältst du mit x = 0.

Nullstellen berechnen: Aufgaben mit Lösungen

f(x) = 3x − 12 – Lösung: x = 4
f(x) = x² − 9 – Lösung: x = 3 und x = −3
f(x) = x² + 4x – Lösung: x = 0 und x = −4
f(x) = x³ − x – Lösung: x = 0, x = 1 und x = −1
f(x) = (x − 1) · (x + 5) – Lösung: x = 1 und x = −5
f(x) = x⁴ − 10x² + 9 – Lösung: x = ±1 und x = ±3
f(x) = (x + 3) · eˣ – Lösung: x = −3
f(x) = x² + 1 – Lösung: keine Nullstelle

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Häufige Fragen (FAQ)

Was ist eine Nullstelle?

Eine Stelle x, an der der Funktionswert 0 ist. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.

Wie berechne ich Nullstellen?

Setze f(x) = 0 und löse die Gleichung, je nach Term durch Auflösen, Ausklammern, pq-Formel, Substitution oder Polynomdivision.

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion haben?

Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, eine quadratische also höchstens zwei.

Wann brauche ich die Polynomdivision?

Bei Funktionen ab Grad 3, wenn weder Ausklammern noch Substitution helfen und du eine Nullstelle erraten konntest.

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.

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