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Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verstehen

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen – aber nur, wenn zwei Seiten bekannt sind. Was, wenn ein Winkel und eine Seite gegeben sind? Hier kommt die Trigonometrie ins Spiel. Sinus, Kosinus und Tangens verbinden Winkel und Seitenverhältnisse.

Die Seiten benennen

Alles beginnt mit dem richtigen Benennen – vom Winkel α aus gesehen:

Hypotenuse: die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
Gegenkathete: die Seite gegenüber von α.
Ankathete: die Seite, die an α anliegt (und nicht die Hypotenuse ist).

Wichtig: Gegen- und Ankathete hängen vom Winkel ab. Für den anderen spitzen Winkel β tauschen sie die Rollen.

Die drei Definitionen

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete

Merkhilfe: GAGA-HHAA – Sinus: Gegen/Hypo, Kosinus: An/Hypo, Tangens: Gegen/An. Im Englischen merkt man sich „SOH-CAH-TOA“.

Eine Seite berechnen

Beispiel: Hypotenuse c = 10 cm, α = 30°. Gesucht ist die Gegenkathete a. sin(30°) = a / 10, also a = 10 · sin(30°) = 10 · 0,5 = 5 cm.

Einen Winkel berechnen

Sind zwei Seiten bekannt, liefert die Umkehrfunktion den Winkel. Beispiel: Gegenkathete 4 cm, Hypotenuse 7 cm. sin(α) = 4/7 ≈ 0,571. Mit der Taste sin⁻¹ auf dem Taschenrechner: α ≈ 34,8°.

Den Taschenrechner einstellen

Ein häufiger Fehler: Der Taschenrechner steht auf Bogenmaß (RAD) statt Gradmaß (DEG). Dann ergibt sin(30) ≈ –0,99 statt 0,5. Vor jeder Trigonometrie-Aufgabe prüfen, ob „DEG“ im Display steht.

Anwendungen

Steigung einer Straße: 10 % Steigung bedeutet tan(α) = 0,1, also α ≈ 5,7°.
Höhe eines Baums: Man steht 20 m entfernt und sieht die Spitze unter 35°. Höhe ≈ 20 · tan(35°) ≈ 14 m (plus Augenhöhe).
Rampen und Dächer: Neigungswinkel aus Höhe und Länge berechnen.

Besondere Werte

Einige Werte sollte man kennen: sin(30°) = 0,5, cos(60°) = 0,5, tan(45°) = 1, sin(90°) = 1, cos(0°) = 1. Sie helfen beim Überschlagen und bei Aufgaben ohne Taschenrechner.

Zusammenhänge

sin(α) = cos(90° – α): Der Sinus eines Winkels ist der Kosinus des anderen spitzen Winkels. Außerdem gilt tan(α) = sin(α) / cos(α) und sin²(α) + cos²(α) = 1 – das ist der Satz des Pythagoras in trigonometrischer Form.

Über das rechtwinklige Dreieck hinaus

In Klasse 10 wird die Trigonometrie erweitert: Sinus- und Kosinussatz gelten in beliebigen Dreiecken, und die Sinusfunktion beschreibt Schwingungen. Dafür wird das Bogenmaß eingeführt, bei dem ein Vollkreis 2π entspricht.

Typische Fehler

Gegen- und Ankathete verwechselt, weil vom falschen Winkel aus gesehen.
Taschenrechner im falschen Modus.
Sinus bei nicht rechtwinkligen Dreiecken angewendet.

Teste dich selbst

Hypotenuse 8 cm, α = 30°: Gegenkathete? – Lösung: 8 · sin(30°) = 4 cm.
Ankathete 5 cm, α = 45°: Gegenkathete? – Lösung: 5 · tan(45°) = 5 cm.
Gegenkathete 3 cm, Hypotenuse 6 cm: α? – Lösung: sin α = 0,5, α = 30°.
Was ist cos(60°)? – Lösung: 0,5.

Übungsblätter zu diesem Thema

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Häufige Fragen (FAQ)

Wie merke ich mir sin, cos und tan?

Mit der Merkhilfe GAGA-HHAA oder SOH-CAH-TOA: Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete.

Warum zeigt mein Taschenrechner falsche Werte?

Meist steht er im Bogenmaß (RAD). Für Winkel in Grad muss er auf DEG eingestellt sein.

Gilt das auch in nicht rechtwinkligen Dreiecken?

Die Definitionen nicht. Dafür gibt es den Sinussatz und den Kosinussatz.

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.